Бот

Вообще выражение b² – 4ac, из которого добывается корень квадратный в числителе, может быть любым — как положительным, так и отрицательным. В случае b² – 4ac ≥ 0 проблем не возникает — уравнение решается и имеет два корня. Что же получается, когда b² – 4ac < 0, и под корнем квадратным оказывается отрицательное число? До пятого или шестого класса нас учили, что такое уравнение не решается. Корней просто не существует. Это утверждение основывалось на невозможности извлечения корня квадратного из отрицательного числа. На самом деле все совсем не так просто.

В математике немало задач, во время решения которых приходится извлекать корень из отрицательного числа. Чтобы справиться с этой проблемой, математики придумали интересную штуку, так называемую мнимую единицу. И обозначили как i = √–1. Это число, которое, умноженное само на себя, дает минус один. То есть i² = –1. Таким образом, решить квадратное уравнение можно даже при b² –4ac < 0. Корни в таком случае будут выглядеть так:

где i — мнимая единица.

А теперь забудьте о квадратных уравнениях и сконцентрируйтесь на идее мнимой единицы. Введение понятия числа i привело к появлению комплексных чисел.

В целом комплексные числа — это расширение действительных чисел, которыми мы обычно пользуемся при счете.

Любое комплексное число z записывается в виде:

z = x + iy,

где x и y — обычные (действительные) числа, i — мнимая единица.

Длительное время комплексные числа воспринимались только как абстракция, выдуманная математиками для решения своих головоломок. Однако потом оказалось, что с их помощью удается в сжатом и удобном для последующих вычислений виде записывать многие математические формулы. Поэтому комплексные числа нашли применение в электротехнике, гидродинамике, квантовой механике, теории колебаний… Собственно, если бы не комплексные числа, ученые до сих пор не имели бы представления о фрактальной геометрии, а также о сверхсложном устройстве природы.

Комплексные числа можно представить геометрически (визуально). Возьмем площадь с прямоугольной (декартовой) системой координат. На оси абсцисс будем откладывать значения x, на оси ординат — y (см. рис. ниже). А любое комплексное число (z₀ = x₀ + iy₀ или z₁ = x₁ + iy₁) можно изобразить как точку на этой плоскости (соответственно с координатами {x₀, y₀} и {x₁, y₁}). Эта плоскость получила название комплексной.

N. B. Обратите внимание: действительные числа (те, которыми мы пользуемся в быту) на комплексной площади соответствуют исключительно оси абсцисс. Для них y = 0. Введение понятия комплексных чисел невероятно расширило границы математических вычислений. Это как будто другая реальность, новое измерение. На комплексной площади эти числа — все, что лежит выше и ниже оси абсцисс. Другими словами, с точки зрения математики действительные (обычные) числа — это скорее исключение. Преимущественное большинство значений выражается именно комплексными, а не действительными числами.

Геометрическое представление комплексных чисел на комплексной площади

Вот теперь мы наконец подошли вплотную к множеству Мандельброта.

Математик Бенуа Мандельброт исследовал так называемые рекурсивные последовательности: каждое следующее значение z такой последовательности получалось из предыдущего по формуле: z_i+1 = z_i² + c, где с — произвольное комплексное число.

Возьмем для примера c = 3 –2i.

Тогда первые три члена последовательности будут равняться:

и так далее…

Что же там исследовать, спросите вы? Да почти ничего. Каждое из новых полученных z_i также является комплексным числом и, соответственно, обозначается такой точкой на комплексной площади. Математики еще задолго до Мандельброта заметили, что некоторые z_i стремятся к бесконечности, а другие — группируются, то есть направляются к какому-то конкретному числу. Такое странное поведение не подчинялось никаким теориям, аналитически его не смогли объяснить. Ученых заинтересовало, какую геометрическую фигуру образует эта совокупность точек последовательности z_i+1 = z_i² + c. Круг? Эллипс? Возможно, хаотический набор точек? Какой-нибудь сложный рисунок?