До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Представим себе сферу, из каждой точки которой растет волос. Затем рассмотрим проекции на поле, касательном к шару в точке, из которой растет волос. Совокупность этих проекций похожа на поле векторов, касающееся шара, то, что называется касательным полем. Наша цель — "причесать" волосы, приглаживая их к шару, но так, чтобы движение было непрерывным, то есть без пробора. Ни один волос не может вдруг поменять направление по отношению к другим. По этой теореме, невозможно причесать волосы, не сделав хотя бы одного пробора на шаре. В любом случае получится или завихрение, или залысина. Достаточно обратиться к повседневной окружающей нас реальности, чтобы убедиться в правильности теоремы: если мы попробуем причесать ребенка, не делая пробор, где-то все равно образуется завихрение.

Затылок с типичным завихрением волос.

ПЕРВЫЕ КНИГИ ЭЙЛЕРА

В России Эйлер написал свои первые трактаты. Несмотря на большой объем, они легко читаются и в них уже прослеживаются стиль и превосходная структура, которые были отличительной чертой ученого: его книги славились ясностью изложения и доставляли немало удовольствия во время чтения. К этому времени относится работа Mechanica sive motus scientia analytice exposita ("Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении"), в которой развиваются физикомеханические аспекты точечной массы. Инновация Эйлера состоит в том, что он делает это с помощью дифференциального и интегрального исчисления, тогда как механика обычно рассматривалась с синтетической и геометрической точки зрения. В этой работе уже появляются дифференциальные уравнения, точечные массы, движение упругих тел и жидкости, поэтому она может считаться первым современным трактатом по рациональной механике. Лагранж назвал ее "первой большой работой, в которой анализ применяется к наукам о движении". Эйлер также посвятил один из трактатов музыке — Tentamen novae theoriae musicae ("Опыт новой теории музыки"), написанный в 1731 году, но опубликованный только в 1739-м. В нем, как и в других сочинениях того же периода, принадлежащих Мерсенну, Декарту или Д’Аламберу, говорится о природе, происхождении и восприятии звука, об удовольствии, вызываемом музыкой, и о математической теории темпераментов. Scientia navalis ("Корабельная наука") стала первой большой работой Эйлера, посвященной кораблестроению, в которой рассказывается о принципах гидростатики, устойчивости кораблей и практических сведениях по кораблестроению и навигации. Он также написал эссе и статьи о кораблях и навигации, в которых рассматривал альтернативные способы движения: от вечного двигателя до использования энергии волн. Самым интересным из них было применение системы лопастей, предшественницы гребных колес. В 1773 году, как мы увидим, ученый вернулся к этой теме.

В последние годы своего пребывания в России Эйлер выполнял множество обязанностей в Академии. Он занимался вопросами садоводства, инженерным делом, работал над собственными книгами и руководил написанием других. Ученый входил в Комиссию мер и весов, сам вызвался аннотировать манускрипты о квадратуре круга, приходившие в академию, и закупать карандаши и бумагу. Самым трудоемким его занятием была ревизия русской картографии, которой, однако, Эйлер восхищался.

Разносторонняя и обширная профессиональная деятельность не мешала Эйлеру обращать внимание на деликатную политическую ситуацию в стране. В 1739 году закончилась русско-турецкая война, и местная знать была недовольна слишком большим количеством немцев на самых высоких государственных и административных постах. Когда в 1740 году на престол взошла Елизавета, дочь Петра I, Эйлер, испугавшись жестоких гонений на элиту немецкого происхождения и на всех иностранцев вообще, принял предложение о работе в Прусской академии наук и уехал в Берлин.

ГЛАВА 3

Берлин, столица анализа