До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

ЭЙЛЕР И ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Эйлер уже в 1735 году внес большой вклад в изучение диофан- товых уравнений, являющихся центральной частью теории чисел. Диофантово уравнение — это уравнение с целыми коэффициентами, для которого возможны только целые решения. Такое название происходит от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который первым занялся их изучением.

Эйлер также попал под их очарование; большая часть его работ по теории чисел состоит в решении задач, оставшихся в наследство от Ферма, а того необычайно привлекал Диофант и область его научных занятий. Но время сбора урожая еще не пришло: Эйлеру не хватало многих мощных инструментов, чтобы начать систематическое изучение диофантовых уравнений, таких как алгебраическая геометрия и эллиптические интегралы, которые только начали появляться. И хотя Эйлер измерил границы царства Диофанта, он не смог его завоевать. Самым знаменитым доказательством в этой области, наверное, может считаться частичное доказательство теоремы Ферма, которое получил Эйлер. Согласно ей, невозможно было решить диофантово уравнение хn + уn - zn при n ≥ 3. Эйлер доказал, что это так при n = 3. Считается, что в доказательстве, которое он нашел уже в 1735 году, была ошибка, но впоследствии Эйлер сам ее исправил. Также при изучении другой категории чисел он подтвердил рассуждения для п - 4, уже выведенные Ферма. Универсальное решение для любого значения п появилось только в конце XX века благодаря Эндрю Уайлсу.

Эйлер также заинтересовался уравнением Пелля — дио- фантовым уравнением вида

у² = Ах² + 1,

где А — определенное число, а не неизвестная. Это уравнение решил Лагранж, который развил и расширил метод непрерывных дробей, проанализированный Эйлером. Современное название уравнения происходит от ошибки самого Эйлера, который перепутал Джона Пелля (1611-1685) с математиком

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Диофант Александрийский (ок. 200 — ок. 284) известен как создатель диофантовых уравнений. Сегодня так называют уравнения с одной или более неизвестными, в которых все коэффициенты являются целыми числами и в качестве решений допускаются целые числа, хотя Диофант допускал и рациональные. Предполагается, что Диофант прожил 84 года, поскольку имеется эпитафия, в которой упоминается его возраст.

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей, и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей*.

^* Перевод С. Н. Боброва.

Если мы размотаем этот клубок ребусов и запишем диофантово уравнение, скрывающееся в этом тексте, то получим

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x, и решение ч = 84

Диофант и Ферма