Физика пространства - времени

Отсюда следует, что орбитальный момент импульса электрона rp_обычн должен быть равен целому кратному h «кванта момента импульса».

Приравняем силу электрического притяжения KZe^2/r^2 электрона (заряд e) к ядру (заряд Ze) центробежной силе

mv^2

r

=

m^2v^2

mr

=

(p_обычн)^2

mr

,

необходимой для удержания электрона на круговой орбите. Постоянная K зависит от выбора системы единиц (в единицах СГС K=1; в системе СИ, или МКС, K=1/(4 ) н·м^2/к^2:

(p_обычн)^2

mr

=

KZe^2

r^2

или

(rp

_обычн

)^2

=

n^2h^2

KZe^2mr

,

откуда получим

r

=

n^2h^2

KZe^2m

.

Формула (126а) получится, если использовать систему K=1/(4 ) мула (126б) — если положить K=1.

Величину скорости можно найти из формулы, справедливой в случае малых скоростей:

=

p_обычн

mc

=

nh

mrc

=

nh

mcn^2h^2/(KZe^2m)

=

=

KZe^2

nhc

=

Ke^2

hc

·

Z

n

=

Z

n

.

102. Ви'дение посредством электронов

В формулу для импульса p=h/c подставим значения =10 м и =10^1 м а затем найдём соответствующие значения энергии по формуле E/m=1+(P/m)^2. При =10 м энергия получается приближённо равной

E

m

1

+

3·10^1^2

,

так что

T

3·10^1^2

m

.

Примем m=0,5 Мэв; необходимая кинетическая энергия будет тогда равна

T

1,5·10

эв

.

Чтобы электронный микроскоп обладал достаточной разрешающей способностью для наблюдения бактерий, электроны должны пропускаться через разность потенциалов не менее одного микровольта. Такие низкие напряжения на практике трудно поддерживать стабильно; более того, столь медленные электроны вовсе не способны пройти даже сквозь высушенную бактерию. Поэтому пользуются электронами с энергиями в несколько тысяч электронвольт, и это позволяет наблюдать детали строения бактерий. При =10^1 м энергия должна быть равна

E

m

=

2,4·10^3

T

m

,

T

=

2,4·10^3·0,5

Мэв

10

эв

=

1

Бэв

.

Для выявления деталей структуры протонов и нейтронов необходимы электроны, ускоренные не менее чем до таких энергий.

103. Прецессия Томаса

Все этапы решения этой задачи подробно изложены в тексте.

104. Трудности межзвёздных полётов

а) Требуемую величину параметра скорости можно определить по коэффициенту замедления времени, ch =10. По «способам быстрой оценки для простых смертных» (см. табл. 8 на стр. 78) для параметра скорости приближённо найдём e=20 или =3. Отношение начальной массы ракеты к конечной для одного этапа ускорения из состояния покоя до данного конечного значения параметра скорости (или для замедления от данного значения параметра скорости до состояния покоя) можно вычислить по формуле (110) из упражнения 58:

=

ln

M

M

.

Отсюда следует искомое отношение масс

M

M

=

e

=

20

.

Полезный груз ракеты равен 10 кг; поэтому суммарная масса полезного груза и горючего перед последним торможением при возвращении на Землю составляет 20·10 кг. Но при предшествовавшем ускорении от далёкой звезды к Земле ускорять приходится не только полезный груз, но и горючее, необходимое для конечного торможения. Поэтому при прощании со звездой полная масса космического корабля должна быть равна 20·20·10 кг. Продолжая эти рассуждения назад во времени вплоть до самого отлёта с Земли, для исходного значения массы корабля получим

20·20·20·20·10

кг

3,2·10^1

кг

,

т.е. 32 миллиона тонн! Из этой общей массы полезный груз составляет всего 100 тонн, а остальное — горючее.

б) Полёт в одну сторону (быстрое ускорение не в счёт, важен лишь длительный полёт по инерции, когда ch =10) занимает 50 лет времени астронавта или 50·10 лет= 500 лет на Земле. Космический корабль летит почти со скоростью света:

1

-

^2

=

1

ch^2

=

10^2

=

(1-)

(1+)

2(1-)

,

или

1-

0,5·10^2

.

Поэтому он может достигнуть звезды, удалённой от нас самое большее на 500 световых лет. Всё путешествие займёт тысячу земных лет.

в) Коэффициент замедления времени равен ch =10, поэтому энергия атома водорода (масса покоя m) составляет

E

=

m ch

=

10m

или

T

=

E

-

m

=

9m

9

Бэв

.

Лоренцево сокращение, происходящее в направлении движения, также определяется коэффициентом ch =10. Поэтому в системе отсчёта ракеты, движущейся со своей полной скоростью, на каждый кубический сантиметр будет приходиться не один атом водорода, а целых десять, т.е. 10·10^2·10^2·10^2=10 атомов на один кубометр. В этой системе отсчёта они будут лететь почти со скоростью света, так что в секунду на каждый квадратный метр лобовой поверхности космического корабля будет обрушиваться 3·10 кубических метров частиц — 3·10^1 атомов. Это в 300 раз превышает мощность пучка протонов высокой энергии от ускорителя.

Подведём итоги:

1) Расстояние (около 500 световых лет), достижимое в космическом полёте человеком за время его жизни, намного меньше, чем расстояния до самых далёких из наблюдаемых нами звёзд (от 5 до 9 миллиардов световых лет).

2) Даже в случае «идеальной» ракеты отношение начальной массы к конечной, необходимое для полёта туда и обратно «всего лишь» на расстояние 500 световых лет, недопустимо велико.

3) Астронавт-человек нуждается во время такого полёта в массивном защитном щите, что несовместимо с предположением об идеальной ракете, принятым при выводе двух предыдущих заключений.