Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

В философии и эмпирической науке индукция — это принцип, который гласит, что если событие наблюдалось много раз в прошлом, то можно предположить, что оно снова произойдет в будущем. Например, Солнце восходит каждое утро с незапамятных времен. Следовательно, было бы логично предположить, что оно взойдет и завтра. Мы не можем доказать, что Солнце завтра взойдет, но можем быть уверены в этом. Однако в математике мы не можем делать какие-то предположения исключительно на основании прошлого опыта.

Рассмотрим пять кругов, представленных на рисунке ниже. В первом случае на линии окружности есть только одна точка, во втором две, в третьем три, в четвертом четыре и в пятом пять. Давайте соединим точки прямыми линиями и посчитаем, сколько секторов получилось в каждом круге. Эти круги разделены на 1, 2, 4, 8 и 16 секторов. Закономерность поразительна: это ведь последовательность, в которой каждое число в два раза больше предыдущего! Можно ли сделать предположение, что если соединить шесть точек на окружности, то количество секторов составит 32?

Подсчитайте количество секторов в каждом круге и попробуйте догадаться, что будет дальше

Категорическое НЕТ! В случае шести точек будет 31 сектор, а по мере дальнейшего увеличения количества точек на линии окружности — 57, 99, 163, 256, 386… Закономерность здесь есть, но это не последовательность, в которой каждое число в два раза больше предыдущего[161]. Ни в коем случае не следует делать выводы на основании ограниченного количества наблюдений, какими бы многообещающими эти выводы ни казались.

В математике доказательство методом индукции — это способ выяснить, когда закономерность будет продолжаться до бесконечности. Если у нас есть последовательность таких утверждений:

1) — первое утверждение верно;

И

2) — если n-е утверждение верно, то утверждение n + 1 тоже верно;

то мы можем сделать вывод, что все эти утверждения верны.

Доказательство методом индукции аналогично падению костяшек домино. Если их поставить в ряд и n-я костяшка упадет, она толкнет костяшку n + 1, а значит, для того чтобы упали все костяшки, достаточно всего лишь опрокинуть первую костяшку.

Но вернемся к исходной задаче. Для того чтобы доказать, что машинальный рисунок может быть двухцветным, нам необходимо доказать, что:

1) — рисунок, состоящий из одного ряда, может быть двухцветным;

2) — если рисунок, состоящий из n рядов, может быть двухцветным, то и рисунок с количеством n + 1 рядов тоже будет двухцветным.

Доказать истинность первого утверждения очень просто: достаточно провести через всю страницу прямую линию и заштриховать область с одной стороны. А вот для того, чтобы доказать истинность второго утверждения, понадобится немного поразмышлять.

Начнем доказательство с рассмотрения n + 1 линий, как показано на схеме 1 ниже. (Очевидно, что для иллюстрации данного примера для числа n нужно выбрать какое-то значение, поэтому мы должны проследить за тем, чтобы наше доказательство было применимо к любому числу n.)

Если удалить одну линию, у нас получится рисунок с количеством линий n, показанный на схеме 2. Предположим, рисунок с количеством линий n можно сделать двухцветным, как на схеме 3. Теперь давайте восстановим линию, убранную на первом шаге (схема 4), и с одной ее стороны поменяем цвет на противоположный, другими словами — белые фрагменты сделаем заштрихованными, а заштрихованные — белыми. В результате каждый сектор над линией расположен рядом с сектором под линией, имеющим другой цвет. Следовательно, у нас пролучился двухцветный рисунок с количеством линий n + 1 (схема 5).

Доказательство теоремы о двухцветном рисунке методом индукции

Иными словами, мы продемонстрировали, что второе утверждение истинно. Процесс доказательства методом индукции завершен: все рисунки могут быть двухцветными. (Это доказательство распространяется только на рисунки, образованные посредством вычерчивания линий на квадратном листе. То же самое касается и любого фигурного рисунка с «завитушками», когда перо начинает и прекращает двигаться в одной и той же точке, но по мере перемещения может рисовать петли, спирали и пересечения любой сложности. Однако это утверждение требует более сложного доказательства.)

Труд Евклида «Начала» стал самым важным текстом в истории математики, и не только потому, что он раскрыл информацию о простых числах, треугольниках и т. д., но и благодаря тому, как именно это было сделано. Красота этого текста состоит в его строгости. Евклид весьма скрупулезен. Он ничего не упрощает, не дает никаких оценок и не делает заявлений, которые не может доказать. Если вы согласитесь с тем, что десять исходных предположений Евклида верны, то вы должны принять и истинность всех 465 теорем, сформулированных в книге. «Начала» — это образец применения аксиоматического метода, свидетельство силы дедуктивного мышления.