Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Метод простаферезиса вдохновил шотландца Джона Непера на поиск еще более эффективного способа преобразования умножения в сложение, что в 1614 году привело к открытию логарифма. Вместо умножения двух чисел теперь можно было сложить их логарифмы. Логарифмы Непера существенно упростили процесс умножения, из-за чего метод простаферезиса утратил популярность. Тем не менее на протяжении нескольких десятилетий триумфа прямоугольный треугольник — квинтэссенция геометрии — играл двойную роль в качестве невидимого оружия арифметики.

Хотя треугольники, несомненно, весьма полезны по отдельности, в командной игре они особенно эффективны. Если нарисовать сеть треугольников (как показано на рисунке ниже) и измерить в ней все углы, то достаточно определить точную длину одной линии, чтобы рассчитать длину всех остальных линий сети. Предположим, нам известна точная длина линии, выделенной жирным; обозначим ее как l. Тригонометрическое тождество, которое принято называть теоремой синусов, дает нам формулу расчета длины двух других сторон треугольника:

где α — угол, противоположный жирной линии, β и γ — два других угла треугольника. Поскольку все углы в треугольниках сети известны, на основании длины каждой очередной линии можно вычислить длину двух других линий — и так далее, пока не будет известна длина каждой линии сети. Этот метод применим к любым треугольникам, а не только к прямоугольным.

В 1533 году голландский математик Гемма Фризиус понял, что метод триангуляции как нельзя лучше подходит для картографии, поскольку измерять углы гораздо легче, чем большие расстояния[69]. Его идея состояла в том, чтобы выбрать точки на местности так, чтобы от каждой из них было видно две других, и построить таким образом сеть треугольников. Он измерил углы между точками с помощью теодолита — круглого транспортира на подставке. Определив длину базисной линии, Гемма Фризиус смог рассчитать все остальные расстояния, используя тригонометрические таблицы, а затем нарисовал точную карту местности.

Триангуляция

Франция стала первой страной, в которой триангуляция была выполнена по всей территории, и произошло это в 1668 году. Единственная сложная задача в любом виде триангуляции заключается в измерении первого расстояния. Аббат Жан Пикар взял за основу участок прямой дороги от Вильжюиф до Жувиньи длиной в 11 километров, который тщательно измерил с помощью деревянных мерных реек. Затем Пикар отправился на север, используя в качестве вершин треугольников такие ориентиры, как часовые башни и вершины холмов, и измеряя только углы между ними. Добравшись до Атлантического океана, Пикар обнаружил, что побережье гораздо ближе расположено к Парижу, чем считалось раньше. «Твоя работа стоила мне приличной части моих владений!» — фыркнул Людовик XIV. Начатый Пикаром процесс триангуляции продолжался еще столетие после его смерти, пока территорию Франции не покрыли четыре сотни треугольников. Знаменитая карта Франции, составленная в итоге, содержала больше деталей, чем любая другая из созданных ранее карт, и была выполнена почти в том же масштабе, что и стандартные туристические карты Michelin, доступные в наше время.

Французы испытывали amour fou — безумную любовь к треугольникам. В 1735 году Людовик XV отправил две команды геодезистов-триангуляторов в противоположные концы Земли, для того чтобы решить важный научный спор. Земля — неидеальная сфера. Шли жаркие дискуссии вокруг того, какую форму она имеет — сплюснутую у полюсов (как грейпфрут) или на экваторе (как лимон). Эта тема стала предметом раздора между британцами, ратующими за первое, и французами, которые с ними не соглашались. Французы поняли, что можно правильно определить, на какой именно плод похожа Земля, сравнив расстояние, которое покрывает на поверхности Земли один градус широты у Северного полюса и у экватора. Если бы Земля имела форму идеальной сферы, длина одного градуса широты была бы везде одинаковой и составляла бы окружности Земли. Однако, если бы у полюсов это расстояние было больше, это означало бы, что земной шар сплюснут у полюсов, а если меньше, значит, у экватора. Французы отправили одну экспедицию в Лапландию, а другую — в сторону современного Эквадора в Южной Америке. Наблюдая за звездами, они рассчитали начальную широту, а затем в Лапландии начали строить сеть триангуляции строго на север, а в Эквадоре — строго на юг. В конечной точке триангуляции они снова определили широту посредством наблюдений за звездами. После длительной борьбы со снежными бурями и москитами в Скандинавии и высотной болезнью в Андах две группы пришли к выводу, что в Лапландии один градус широты длиннее. Британцы оказались правы: наш мир действительно похож на большой pamplemousse («грейпфрут» по-французски).