"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Основа системи

2

4

6

7

8

9

10

Найменше одноцифрове

0 ₂

0 ₄

0 ₆

0 ₇

0 ₈

0 ₉

0 ₁₀

Найбільше одноцифрове

1 ₂

3 ₄

5 ₆

6 ₇

7 ₈

8 ₉

9 ₁₀

Найменше двоцифрове

10 ₂

10 ₄

10 ₆

10 ₇

10 ₈

10 ₉

10 ₁₀

Найбільше двоцифрове

11 ₂

33 ₄

55 ₆

66 ₇

77 ₈

88 ₉

99 ₁₀

Помічаємо, що всі найменші числа у будь-якій системі числення складаються із нулів (найменше одноцифрове) або одиниць з нулями (найменше двоцифрове, найменше трицифрове аналогічно 100). А найбільші одноцифрові складаються із однієї цифри, що відповідає числу, на одиницю менше основи системи, а найбільше двоцифрове – із двох однакових цифр, на одиницю менше основи системи (аналогічно найбільше трицифрове – із трьох однакових цифр, на одиницю менше основи системи).

3. Вказати “таємниці” числових шкал, назвати два наступних числа:

1)

2)

3)

Міркування учнів:

1) “Таємниця” першої шкали у тому, що тут мова йде про двійкову систему числення, це видно з того, що точка, яка знаходиться від початку відліку на відстані однієї мірки •___•, позначена одиницею, а точка, яка віддалена від початку шкали на дві одиниці, замінена одним десятком, тобто мова йде про основну властивість двійкової системи числення.

Наступні числа: за числом 111 ₂стоїть 1000 ₂; 1001 ₂.

2) “Таємниця” цієї шкали – четвіркова система числення, оскільки точка, що віддалена від початку шкали на 4 одиниці, відмічена числом 10, а це є основна властивість четвіркової системи числення (4 од. = 1 дес.).

Наступним за 22 ₄стоять числа 23 ₄; 30 ₄.

3) “Таємниця” цієї шкали – шісткова система числення. Наступними за числом 15 ₆стоять числа 20 ₆; 21 ₆.

Цікавим для учнів на занятті математичного гуртка, або факультативу є знайомство з додаванням та відніманням багатоцифрових чисел (а потім з множенням та діленням), записаних в будь-якій позиційній системі числення. В дійсності тут відбувається розширення використання алгоритму цих дій в десятковій системі числення на будь-яку іншу позиційну систему числення з основою, що відмінна від десяткової.

В алгоритмах цих арифметичних дій тільки один крок повинен бути записаним в більш узагальненому виді: основа системи вказує співвідношення між сусідніми розрядами, тобто скільки одиниць одного розряду складає одну одиницю наступного розряду.

Наприклад:

3132 ₅

+

1302 ₅

–––––

4434 ₅

– самий “легкий” випадок, де немає переходу через десяток.

3122 ₅

+

1212 ₅

–––––

4340 ₅

– є перехід через десяток в розряді одиниць: 2 ₅+ 3 ₅= 10 ₅(сума одиниць складає одну одиницю наступного розряду).

3133 ₅

+

1303 ₅

–––––

4441 ₅

– є перехід через десяток в першому розряді, але сума одиниць тут перевищує одну одиницю наступного розряду: 3 ₅+ 3 ₅= 10 ₅+ 1 ₅= 11 ₅.

3132 ₅

+

1224 ₅

–––––

4411 ₅

– є перехід в першому і другому розрядах.

Далі можна запропонувати більш складні приклади на додавання, коли спостерігається перехід через десяток в кожному розряді І класу, в двох класах та ін.

По аналогічній динаміці ускладнення вивчається і протилежна дія – віднімання, а потім і дії другого ступеня – множення та ділення.

Практика роботи показує, що вивчення чисел і дій над ними в інших позиційних системах числення, відмінних від десяткової, викликає в учнів не тільки інтерес до вивчення математики, а й сприяє більш свідомому засвоєнню особливостей десяткової системи числення, алгоритмів дій (усних та письмових) в десятковій системі числення, що є основною вимогою, яка пред’являється до знань, умінь та навичок учнів, передбачених програмою навчання математики в початкових класах.

МАТЕМАТИЧНИЙ БІЛЬЯРД

ЯК ГЕНЕРАТОР ВИПАДКОВИХ ЧИСЕЛ

В.М. Євсіков ¹, М.О. Рашевський ²

¹м. Дніпропетровськ, Дніпропетровський національний університет

²м. Кривий Ріг, Криворізький технічний університет

Математичним більярдом [1, 2] (МБ) називатимемо рух без опору точкової частинки в області із пружним відбиванням від стінок. МБ є моделлю багатьох фізичних процесів. Ряд питань у теорії МБ є не розв’язаними, хоча й елементарними. Таким є питання про існування періодичних траєкторій у довільних областях (навіть у многокутниках).

При розв’язуванні задач методом Монте-Карло виникає проблема одержання послідовності випадкових чисел (точок), рівномірно розподілених на проміжку (в області простору). Розв’язування задач на геометричні ймовірності методом Монте-Карло продемонструвало “нерівномірність” звичайного генератора, що було підтверджено перевіркою гіпотези про рівномірний розподіл. Рівномірно розподілену послідовність можна отримати розігруванням руху більярдної частинки з відбиванням від нерухомого круга у центрі одиничного квадрата [1].

Авторами досліджувався МБ в опуклих областях вигляду x=  _i t, y=  _i t, t   _i,  _i, i=1, 2, …, n.Для одержання рівномірно розподіленої на відрізку [0, 2 ] послідовності використано МБ в еліпсі з ексцентриситетом  =0,5. Відхилення розподілу від рівномірного з певною мірою вірогідності дозволяє стверджувати про існування періодичних траєкторій (наприклад, в еліпсі при . Крім перевірки гіпотези про рівномірний розподіл, побудований генератор використано для комп’ютерного розв’язування задач на геометричні ймовірності.