Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

MODUS TОLLENS И ФАЛЬСИФИЦИРУЕМОСТЬ

Согласно философу Карлу Попперу (1902–1994), modus tollens — это единственное корректное правило вывода в естественных науках. Когда мы пытаемся объяснить какое-то явление, то научный метод, который Поппер назвал гипотетико-дедуктивным, заключается в том, чтобы выдвинуть гипотезу и провести эксперимент, который позволит опровергнуть ее. Если из гипотезы Н следует наблюдаемое следствие 0, которое неизменно повторяется в лабораторных условиях, то Н становится научным законом. Однако если мы не можем поочередно проверить все возможные ситуации, в которых применима наша гипотеза, то мы никогда не сможем быть уверенными в ее истинности. Чтобы быть уверенными в том, что все лебеди — белые, нужно исследовать все уголки планеты, однако достаточно увидеть всего одного черного лебедя, как это произошло с первыми поселенцами в Австралии, чтобы опровергнуть гипотезу. Этот принцип известен под названием принципа фальсифицируемости и является не чем иным, как modus tollens: «Если гипотеза Н верна, то из нее следует следствие 0. Так как мы наблюдаем противоположное 0, то гипотеза Н ложна».

Философ Карл Поппер в 1980-е годы.

* * *

Теперь, когда мы знаем, что такое аксиомы и правила вывода, мы можем дать точные определения понятиям «теория», «доказательство» и «теорема», которые на предыдущих страницах более или менее соответствовали привычным представлениям. Доказательство — это процесс, позволяющий получить новые результаты путем применения правил вывода к аксиомам. На практике доказательство представляет собой конечную последовательность утверждений, или высказываний, первое из которых обязательно должно быть аксиомой (в математике нет «чистых листов»!), а каждое из последующих может быть либо аксиомой, либо выводиться из предшествующих высказываний с помощью правил вывода. Последнее высказывание доказательства называется теоремой. Теория — это множество аксиом, правил вывода и всех теорем, которые можно доказать с помощью этих правил на основе аксиом. В некоторых случаях вместо «теория» мы будем говорить «система аксиом».

До сих пор центром нашего внимания была геометрия Евклида — теория, состоящая из пяти постулатов «Начал», правил вывода, подобных утверждению «равные одному и тому же равны и между собой», и всех теорем о кругах, треугольниках и многоугольниках, которые только может представить себе читатель. Мы также упомянули о неевклидовой геометрии, которая содержит первые четыре постулата геометрии Евклида и отрицание пятого постулата (утверждение, согласно которому через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной). Однако настоящим главным героем этой книги является арифметика — теория, в которой рассматриваются числа, используемые при счете и называемые натуральными.

Аксиомы арифметики

В свете всего вышесказанного для определения арифметики нужно прежде всего найти ее аксиомы. В конце XIX века эти поиски занимали умы многих ученых, поскольку в первой половине столетия их мечтой было описать окружающий мир, а во второй — точно определить, что же такое натуральные числа. А уже на основе этих чисел нетрудно найти определение для других видов чисел, например отрицательных или дробных: так, число —1 получается добавлением знака «минус» к натуральному числу 1 и используется, когда мы хотим указать на различие между двумя направлениями, например на шкале термометра или при движении средств на банковском счете. В свою очередь, 2/3 получается делением 2 на 3 и используется, когда одно число нельзя нацело разделить на другое. Но как определить числа, не определяемые на основе других?