Жизнь такая же круглая как и Земля (СИ)

Выводы по 4 главе: На основе Пляс интеграла возможно построение функции плотности вероятности. При этом достаточно от десяти моментов наступления аварий, чтобы получить функцию плотности вероятности с точностью 90%. Этот факт является внушительным, так как статистические методы построения плотности вероятности с такой точностью достигают моментов наступления событий около сотни.

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПЛЯС РЯДЫ

Прогнозировать поведение функции в дальнейшем методом Пляс рядов и Пляс интеграла возможно также как и для рядов Фурье и интеграла Фурье только при условиях, что период гармонических составляющих функции в несколько раз меньше максимального периода участвующих в преобразовании. Для того, чтобы прогнозировать поведение функции не удовлетворяющих этому условию предлагаются дифференциальные Пляс ряды. При этом должно соблюдаться условие: Гармоники должны иметь период большей, чем 2*π.

Для объяснения данных рядов рассмотрим следующую функцию, формула 5.1:

(5.1)

График данной функции представлен на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1. – Исходная функция.

Продифференцируем данную функцию до четвертой производной:

(5.2)

График данной функции представлен на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2. – График четвертой производной исходной функции.

Построим на одном рисунке четвертую производную исходной функции сплошную и идеальную синусоиду с наименьшим периодом исходной гармоники с периодом 20 пунктиром:

Рисунок 5.3. – Производная исходной функции и идеальная синусоида.

Как видно из рисунка 5.3 – мы выделили дифференцированием гармонику с наименьшим периодом 20.

Теперь более подробно.

Рассмотрим функцию, формула которой представлена на рисунке 5.3.

(5.3)

Продифференцируем данную функцию до первой производной и получим:

(5.4)

Как видно из формулы 5.4, мы получили первую производную с гармоническими сигналами подчиняющихся закону синуса, причем отрицательные значения гармоник.

Вторая производная будет иметь вид:

(5.5)

Третья производная будет иметь вид:

(5.6)

Четвертая производная будет иметь вид:

(5.7)

Как видно из формулы 5.3. и 5.7 четвертая производная отличается от исходной функции только амплитудой соответствующих гармонических составляющих. Причем в числителе появляется множитель 16* . А в знаменателе появляется период в четвертой степени. Очевидно, чем больше период, тем гармоническая составляющая данной гармоники с данным периодом будет меньше. И следовательно если у нас производная кратная 4, то мы можем воспользоваться результирующей формулой:

(5.8)

Если гармонических составляющих больше, то очевидна формула:

(5.9)

Мы можем проанализировать гармонические составляющие сигнала используя формулу 5.9. Для этого дифференцируем сигнал с производной кратностью в четыре. До тех пор пока не получим синусоидальный сигнал. Находим искомую гармонику, умножив на соответствующий коэффициент. Вычитаем из исходного сигнала полученный гармонический сигнал с данным найденным периодом. Дифференцируем опять полученный после вычитания сигнал до меньшего дифференциала, чем в первый раз. И получаем другую гармоническую составляющую. Так производим, пока не получим все гармонические сигнала. Для наглядности рассмотрим пример, в котором определяются 3 гармонические составляющие.

Пусть искомый сигнал подчиняется следующей функции:

(5.10)

График данной функции представлен на рисунке 5.4.

Рисунок 5.4. – График исходной функции.

Продифференцируем до 8 производной входной сигнал. Это можно сделать используя свойство производной, а именно производная равна делению приращения функции к приращению аргумента.

Рисунок 5.5. – Восьмая производная исходного сигнала.

Полученный сигнал имеет период 15, также как и минимальный период входного сигнала. Найдем амплитуду полученного сигнала:

Используя формулу 5.11, вытекающую из формулы 5.9:

(5.11)

Мы определили, что гармоника с минимальным периодом имеет следующий вид:

(5.12)

Отнимем от исходного сигнала найденную гармонику:

(5.13.)

Получим следующий график функции:

Рисунок 5.6. – График функции J1(t).

Продифференцируем до четвертой производной функцию J1(t). И получим следующий график:

Рисунок 5.7. – График функции четвертой производной от функции J1(t).

Как видим из графика функция синусоидальна. Имеет период 80 и амплитуду .

Используя формулу 5.14 получим амплитуду второй гармоники с периодом 80.

(5.14)

Мы определили, что вторая гармоника имеет вид:

(5.15)

От исходной функции отнимем первую и вторую гармонику:

(5.16)

График данной функции представлен на рисунке 5.8.

Рисунок 5.8. – График функции J2(t).

Как видно из рисунка 5.8, мы получили синусоиду, а именно третью гармонику исходного сигнала с периодом 130 и амплитудой . Третья гармоника имеет следующие параметры:

(5.17)

Итак запишем найденную функцию:

(5.18)

Построим график данной функции:

Рисунок 5.9. – График полученной функции.

Построим на одном графике исходную и полученную функцию:

Рисунок 5.10. – Полученная и исходная функция.