2a. Пространство. Время. Движение

Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Например, чему равен квадратный ко­рень из -1? Предположим, что это х, тогда х²=-1. Нет ни ра­ционального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен -1. Придется снова пополнить запас чисел. Предполо­жим, что уравнение х²=-1 все же имеет решение, и обозначим это решение буквой i; число i имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает -1. Вот пока и все, что можно о нем сказать. Однако уравнение х²=-1 имеет два корня. Буквой i мы обозначили один из корней, но кто-нибудь может сказать: «А я предпочитаю иметь дело с корнем -i; моя буква i просто минус ваша i». Возразить ему нечего, пото­му что число i определяется соотношением i²=-1; это соотно­шение останется верным, если изменить знак i. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество i, останется вер­ным, если сменить знаки у всех i. Такая операция называется комплексным сопряжением. Далее, ничто не мешает нам полу­чать новые числа вот так: сложить i несколько раз, умножить i на какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умно­жения к старому числу и т. д. Все это можно сделать, не на­рушая ранее установленных правил. Таким образом мы при­ходим к числам, которые можно записать в виде p+iq, где p и q — числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действительными числами. Число i называют мнимой единицей, а произведение действительного числа на мнимую единицу — чисто мнимым числом. Самое общее число а имеет вид a=p+iq, и его называют комплексным числом. Обращаться с комплекс­ными числами несложно; например, нам надо вычислить произ­ведение (r+is)(p+q). Вспомнив о правилах, мы получим

(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp), (22.4)

потому что ii=i²=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (22.1).

Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: «Рано говорить об общем выражении, надо еще оп­ределить, например, возведение в мнимую степень, а потом мож­но придумать много алгебраических уравнений, ну хотя бы x⁶+3x²=-2, для решения которых потребуются новые числа». В том-то и дело, что, кроме действительных чисел, достаточно изобрести только одно число — квадратный корень из -1, после этого можно решить любое алгебраическое уравнение! Эту удивительную вещь должны доказывать уже математики. Дока­зательство очень красиво, очень интересно, но далеко не само­очевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожи­дать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова и снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобре­тение. Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные числа в комплексную степень и выражать решение любого алгебраи­ческого уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет. Например, квадратный корень из i, или iⁱ— опять те же комплексные числа. Сейчас мы рассмотрим это подробнее.

Мы уже знаем, как надо складывать и умножать комплекс­ные числа; сумма двух комплексных чисел (р+iq)+(r+is) — это число (p+r)+i(q+s). Но вот возведение комплексных чисел в комплексную степень — уже задача потруднее. Однако она оказывается не труднее задачи о возведении в комплексную сте­пень действительных чисел. Посмотрим поэтому, как возводит­ся в комплексную степень число 10, не в иррациональную, а комплексную; нам надо знать число 10^(r+is). Правила (22.1) и (22.2) несколько упрощают задачу

10^(r+is)=10^r10^is (22,5)

Мы знаем, как вычислить 10^r, перемножить числа мы тоже умеем, не умеем только вычислить 10^is. Предположим, что это комплексное число x+iy. Задача: дано s, найти х и у. Если

10^is=x+ iy,

то должно быть верным и комплексно сопряженное уравнение

l0^-is=x-iy,

(Некоторые вещи можно получить и без вычислений, надо про­сто использовать правила.) Перемножая эти равенства, можно получить еще один интересный результат

10^is10^-is=10⁰=1=(x+iy)(x-iy)=x²+y²(22.6)

Если мы каким-то образом найдем х, то определить у будет очень легко.