2a. Пространство. Время. Движение

Однако как все-таки возвести 10 в мнимую степень? Где искать помощи? Правила нам уже не помогут, но утешает вот что: если удастся возвести 10 в какую-нибудь одну мнимую степень, то ничего не стоит возвести 10 уже в любую степень. Если из­вестно 10^is для одного значения s, то вычисление в случае вдвое большего s сводится к возведению в квадрат и т. д. Но как же возвести 10 в хотя бы одну мнимую степень? Для этого сделаем дополнительное предположение; его, конечно, нельзя ставить в один ряд с правилами (22.1) и (22.2), но оно приведет к разумным результатам и позволит нам шагнуть далеко впе­ред. Предположим, что «закон» 10^e=1+2,3025e (когда e очень мало) верен не только для действительных, но и для комплекс­ных e. Если это так, то 10^is=l +2,3025·is при s®0. Предполагая, что s очень мало (скажем, равно 1/1024), мы получаем хорошее приближение числа 10^is.

Теперь можно составить таблицу, которая позволит вычис­лить все мнимые степени 10, т. е. найти числа x и y. Надо посту­пить так. Начнем с показателя 1/1024, который мы считаем равным примерно 1+2,3025 i/1024. Тогда

10^i/1024=1,00000+0,0022486i. (22.7)

Умножая это число само на себя много раз, мы дойдем до сте­пеней более высоких. Мы просто-напросто перевернули про­цедуру составления таблицы логарифмов и, вычислив квадрат, 4-ю степень, 8-ю степень и т. д. числа (22.7), составили табл. 22.3. Интересно, что сначала все числа х были положительными, а потом вдруг появилось отрицательное число. Это значит, что существует число s, для которого действительная часть 10^is равна нулю. Значение у в этом случае равно i, т. е. 10^is=i, или is=log₁₀i. В качестве примера (см. табл. 22..3) вычислим с ее помощью Iog₁₀i. Процедура поиска Iog₁₀i в точности повторяет то, что мы делали, вычисляя log₁₀2.

Произведение каких чисел из табл. 22.3 равно чисто мнимому числу? После нескольких проб и ошибок мы найдем, что лучше всего умножить «512» на «128». Их произведение равно 0,13056+0,99144i. Приглядевшись к правилу умножения ком­плексных чисел, можно понять, что надежду на успех сулит ум­ножение этого числа на число, мнимая часть которого прибли­зительно равна действительной части нашего числа. Мнимая часть «64» равна 0,14349, что довольно близко к 0,13056. Произведение этих чисел равно -0,01350+0,99993i. Мы пе­рескочили через нуль, поэтому результат нужно разделить на 0,99996+0,00900 i. Как это сделать? Изменим знак i и умно­жим на 0,99996-0,00900 i (ведь x²+y²=1). В конце концов обнаружим, что если возвести 10 в степень i(1/1024) (512+128 + +64-4-2+0,20) или 698,20i/1024, то получится мнимая единица. Таким образом, Iog₁₀i=0,068226i.

Таблица 22.3 · последовательное: вычисление квадратов

10^i/1024 =1+0,0022486i

§ 6. Мнимые экспоненты

Фиг. 22.1. Вещественная и мнимая части функции 10^is.

Чтобы лучше понять, что такое число в мнимой степени, вычислим последовательные степени десяти. Мы не будем каж­дый раз удваивать степень, чтобы не повторять табл. 22.3, и по­смотрим, что случится с действительной частью после того, как она станет отрицательной. Результат можно увидеть в табл. 22.4.

В этой таблице собраны последовательные произведения чис­ла 10^i/8. Видно, что x уменьшается, проходит через нуль, дости­гает почти -1 (в промежутке между р=10 и р=11 величина точно равна -1) и возвращается назад. Точно так же величина у ходит взад-вперед.

Точки на фиг. 22.1 соответствуют числам, приведенным в табл. 22.4, а соединяющие их линии помогают следить за из­менением х и у. Видно, что числа х и у осциллируют; 10^isповторяет себя. Легко объяснить, почему так происходит.

Таблица 22.4 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧИСЛА 10^i/8

Ведь i в четвертой степени — это i² в квадрате. Это число равно единице; следовательно, если 10^0,68i равно i, то, возведя это число в четвертую степень, т. е. вычислив 10^2,72i, мы получим +1. Если нужно получить, например, 10^3,00i, то нужно умно­жить 10^2,72i на 10^0,28i. Иначе говоря, функция 10^is повторяется, имеет период. Мы уже знаем, как выглядят такие кривые! Они похожи на график синуса или косинуса, и мы назовем их на время алгебраическим синусом и алгебраическим косинусом. Теперь перейдем от основания 10 к натуральному основанию. Это только изменит масштаб горизонтальной оси; мы обозначим 2,3025s через t и напишем 10^is=e^it, где t — действительное число. Известно, что e^it=x+iy, и мы запишем это число в виде

e^it=cost+isint. (22.8)