2a. Пространство. Время. Движение

Такую силу можно представить в виде последовательных ударов молотком. Сначала всюду стоит тишина, потом кто-то берет в руки молоток и внезапно раздаются равномерные уда­ры — удар, удар, удар, удар, ... и опять все тихо. Иначе говоря, непрерывно действующую силу можно представить в виде ряда последовательных импульсов, быстро следующих один за дру­гим. Мы знаем последствия одного импульса, а последствием серии импульсов будет ряд затухающих колебаний; нарисуйте кривую колебаний для первого импульса, затем, немного от­ступя, такие же кривые для второго импульса, третьего и т. д. Потом сложите все кривые. Таким образом математически можно представить полное решение в случае произвольной силы, если можно решить задачу для импульса. Ответ для любой силы можно получить путем интегрирования. Это метод функции Грина. Функция Грина — это отклик системы на отдельный импульс, а метод функции Грина — это метод ана­лиза действия силы суммированием откликов на импульсы.

Физические принципы, лежащие в основе обоих методов, очень просты; они просто напрашиваются, если понять смысл линейного уравнения, но математические методы содержат до­вольно сложные интегрирования и т. д.; мы мало подготовлены, чтобы прямо атаковать эти методы. К этому вы еще вернетесь, когда поднабьете руку в математике. Но сама идея методов, право, очень проста.

Наконец, скажем еще, почему линейные системы так важны. Ответ прост: потому что мы умеем решать линейные уравнения! Поэтому большую часть времени мы будем решать линейные задачи. Вторая (и главная) причина заключается в том, что основные законы физики часто линейны. Например, уравнения Максвелла для законов электромагнетизма — линейные урав­нения. Великие законы квантовой механики, насколько нам они известны, тоже сводятся к линейным уравнениям. Вот почему мы так много времени уделяем линейным уравнениям: если мы поняли линейные уравнения, мы готовы в принципе понимать очень многие вещи.

Упомянем еще другие ситуации, когда возникают линейные уравнения. Когда отклонения малы, многие функции можно приближенно заменить линейными. Например, точное уравне­ние движения маятника гласит

d²q/dt²=-g/Lsinq. (25.9)

Это уравнение решается при помощи эллиптических функций, но легче его решить численно, как мы это делали в гл. 9 (вып. 1) при изучении ньютоновых законов движения. Большинство нелинейных уравнений вообще можно решить лишь численно. Для малых углов sinq практически равен q, и в этом случае можно перейти к линейному уравнению. На этом примере мож­но сообразить, что есть много обстоятельств, при которых ма­лые эффекты линейны (здесь это отклонения маятника на малые углы). Другой пример: если на пружине качается небольшой грузик, сила пропорциональна растяжению пружины. Если сильно потянуть за пружину, она может и порваться, значит, в этом случае сила совсем иначе зависит от расстояния! Линей­ные уравнения очень важны. Они настолько важны, что физики и инженеры, пожалуй, половину своего времени тратят на ре­шение линейных уравнений.

§ 3. Колебания в линейных системах

Давайте вспомним, о чем мы говорили в нескольких послед­них главах. Физику колебательных движений очень легко за­темнить математикой. На самом-то деле здесь физика очень про­ста, и если на минуту забыть математику, то мы увидим, что понимаем почти все, что происходит в колебательной системе.

Во-первых, если мы имеем дело только с пружинкой и грузи­ком, то легко понять, почему система колеблется — это следст­вие инерции. Мы оттянули массу вниз, а сила тянет ее назад; наступает момент, когда сила равна нулю, но грузик не может остановиться мгновенно: у него есть импульс, который застав­ляет его двигаться. Теперь пружинка тянет грузик в другую сторону, грузик начинает двигаться взад и вперед. Итак, если бы не было трения, то, несомненно, получилось бы колебатель­ное движение, и так оно и есть на самом деле. Но достаточно незначительного трения, чтобы размах следующих колебаний стал меньше, чем раньше.