Десять уравнений, которые правят миром. И как их можете использовать вы

Следующий шаг – определить степень отклонения от среднего. Не каждый читатель проиграет (или выиграет) одну и ту же сумму. Даже без арифметических подсчетов понятно, что при одном обороте рулетки можно наблюдать большую разницу в результатах: если я ставлю 1 фунт, то либо удвою свои деньги, либо потеряю их. Отклонение имеет такую же величину, как инвестируемая сумма, и гораздо больше, чем средняя потеря в 2,7 пенса.

Определим отклонение количественно. Для этого найдем средний квадрат разности между результатом одного вращения и средним значением. Среднее значение равно –0,027 фунта, и если мы выиграли фунт, то квадрат разности равен (1 – (–0,027))² = 1,0547, а если проиграли 1 фунт, то (–1 – (–0,027))² = 0,9467. Всего есть 18 удачных исходов и 19 неудачных, поэтому средний квадрат разности, который обозначают σ², равен:

Такой средний квадрат разности σ² называют дисперсией. У рулетки она очень близка к единице, но не равна ей. Если бы на рулетке было только 36 номеров, половина красных и половина черных, дисперсия была бы в точности единица.

Дисперсия увеличивается пропорционально количеству вращений колеса. Если я запускаю колесо рулетки дважды, она удваивается; если три раза – утраивается и т. д. Дисперсия при n попытках равна n ∙ σ².

Обратите внимание, что при вычислении дисперсии мы возводим разность в квадрат, поэтому ее размерность – фунты в квадрате, а не фунты. Чтобы получить снова фунты, можно извлечь из дисперсии квадратный корень и получить так называемое среднеквадратичное (стандартное) отклонение σ; в нашем случае σ = 0,9996. Соответственно, за 400 оборотов мы получим среднеквадратичное отклонение

Теперь у нас есть большая часть компонентов для уравнения уверенности. Единственный элемент, который мы еще не объяснили, – число 1,96. Оно появляется из математической формулы, которая описывает кривую нормального (гауссовского) распределения; эта колоколообразная кривая используется для представления роста людей или их IQ. Вы можете вообразить нормальное распределение в виде колокола с точкой максимума в среднем значении (например, при запуске рулетки 400 раз средний выигрыш будет 10,8 фунта; если мы станем измерять рост мужчин в Великобритании, то среднее значение будет 175 сантиметров)[40]. На рисунке 3 показана кривая нормального распределения для 400 запусков рулетки и ставок по 1 фунту.

Теперь представьте, что мы хотим найти интервал, который содержит 95 % площади этой колоколообразной фигуры.

Рис. 3. Нормальное распределение

Для 400 запусков рулетки это интервал, куда попадут 95 % прибылей или убытков читателей. Величина 1,96 берется именно отсюда. Чтобы интервал содержал 95 % наблюдений, его граничные значения должны в 1,96 раза превосходить среднеквадратичное отклонение. Иными словами, в нашем случае 95 %-й доверительный интервал для нашей прибыли после 400 запусков рулетки определяется уравнением 3:

После 400 запусков рулетки читатель в среднем потеряет 10,8 фунта. Печально. С другой стороны, ±39,2 определяет довольно широкий доверительный интервал, поэтому некоторые читатели преуспеют. Получившие прибыль игроки будут в явном меньшинстве – их всего 31,2 % от общего количества тех, кто крутил рулетку 400 раз. Я обращал на это внимание, когда ходил в казино или на скачки с небольшой группой людей. Обычно находится один человек, который выигрывает и остается в плюсе. Это ощущается как общая победа, особенно когда он покупает всем выпивку.

Итак, вот первый урок из уравнения уверенности. Победитель может считать, что у него была умная стратегия, а в реальности почти треть людей покидают казино победителями. Но случайность не должна их одурачивать. Они счастливчики, а не умельцы.

* * *

Я упустил важную деталь: сказал вам, что распределение результатов игры соответствует нормальному закону, но не объяснил почему. Объяснение восходит к работе Абрахама де Муавра 1733 года.

В своей первой книге «Доктрина шансов», посвященной азартным играм и опубликованной в 1718 году[41], де Муавр определял вероятность получения конкретных рук в карточных играх и выигрышных исходов при бросании костей – например, прихода двух тузов в пятикарточной руке или выпадения двух шестерок при бросании двух костей[42]. Он вел читателя через вычисления, предлагая упражнения для улучшения понимания. Советы именно такого рода просили у него игроки, искавшие его в кофейне Old Slaughter’s.

В работе 1733 года де Муавр спрашивал своих читателей, как вычислить результат подбрасывания симметричной монеты 3600 раз. Для двух бросков монеты вероятность получить подряд два орла нетрудно найти прямым умножением: Вероятность получить три орла при пяти бросках можно найти, если выписать все возможные варианты, когда выпадает три орла (и, соответственно, две решки):

ГГГРР, ГГРГР, ГГРРГ, ГРГРГ, ГРГГР, ГРРГГ, РГРГГ, РГГРГ, РГГГР, РРГГГ,