Стол находок утерянных чисел

Девочка спросила, нет ли у Пифагора таких числовых троек, где бы сумма кубов двух чисел равнялась кубу третьего? Пришлось сказать, что таких троек нет ни у Пифагора, ни вообще у кого бы то ни было. Нет их и для любых других степеней. Ни для четвёртой, ни для пятой… Ни для какой! В XVII веке это подметил французский математик Пьер Ферма и, по его собственным словам, доказал, хотя доказательство его нигде не обнаружено. Вслед за Ферма то же пытались доказать многие, но безуспешно, несмотря на то, что справедливость этого утверждения, казалось бы, очевидна. И всё же оно вошло в историю математики под именем большой теоремы Ферма.

— Теорема Ферма, — повторила девочка. — Красиво! Но почему же большая? Разве есть ещё и малая?

— Представь себе, есть, — сказал я. — Вот она, под портретом знаменитого француза. Смысл её очень прост: если какое-нибудь натуральное число возвести в степень простого числа и вычесть затем основание, то разность всегда делится на это простое число, то есть на показатель степени.

— Если это и просто, то не для меня, — вздохнула девочка.

— На словах, — возразил я. — А на примере не так страшен чёрт, как его малюют. Возьмём число 4, возведём его в степень простого числа — ну, хотя бы в третью. Получим число 64 (4³ = 64). Теперь вычтем из этого числа основание степени, то есть число 4. Получим 60. А 60 как раз и делится на показатель степени, то есть на 3. И получается при этом 20.

— Говорят, когда Ферма доказал эту теорему, — вмешался Главный терятель, — он воскликнул: «Меня озарило ярким светом!» Впрочем… впрочем, может, это воскликнул кто-нибудь другой?

— Нет-нет, — поспешно заверил я, — эти слова приписывают именно Ферма. И то сказать, такие теоремы не всякий день приходят в голову, несмотря на всю их видимую простоту. Недаром говорят: всё великое просто. И недаром малая теорема Ферма занимает такое большое место в науке о числах…

Я хотел продолжать, но девочку отвлекла витрина, отведённая математическим рядам.

— Что за ряды такие? — удивилась она. — Прямо как на рынке! Цветочный, молочный, мясной…

— На рынке ряды торговые, — возразил я, — а в математике числовые. И может их быть бесконечное множество. Потому что числовой ряд — это любая последовательность чисел. Скажем, 3, 25, 48, 364. Или: 8, 12, 93, 165, 482. Хоть это и не значит, что любой числовой ряд интересен с точки зрения математики. Математические ряды всегда строятся по какому-нибудь правилу. Один по такому, другой — по этакому. Напридумать таких правил можно сколько угодно. Куда труднее разгадать, по какому правилу ряд строили…

— Да-да, это вы верно заметили, — согласился Главный терятель. — Недавно в детском математическом журнале напечатали один числовой ряд, так я над ним целую неделю бился…

— И как, добились? — ехидно поинтересовалась девочка.

— Представь себе, да, — с гордостью ответил он.

— Интересно бы взглянуть, — полюбопытствовал я.

— Сделайте одолжение, — сказал Главный терятель. — Ряд был такой: 0, 4, 18, 48, 100, 180. А образуется он так: первое его число 0 есть 1²х0. Второе — это 2²х1. Третье — 3²х2. Четвёртое — 4²хЗ. И так далее. Иначе говоря, каждое число этого ряда равно квадрату последовательного натурального числа (начиная с единицы), умноженному на предыдущее число. Если, конечно, условно считать нуль натуральным числом, — поспешно добавил он.

— Поздравляю, — сказал я. — Закономерность этого ряда не так уж проста. Но недавно мне пришло в голову, как можно продолжить числовой ряд, его закономерности не зная.

— Счастливец, — позавидовал Главный терятель. — Хотел бы я быть на вашем месте.

— Нет ничего проще, — заверил я. — Хотя, конечно, способ мой не универсален. Он годится лишь в определённых случаях, о которых сейчас благоразумнее не распространяться…

— Ясно, — съязвила девочка, — для нас с Пусей это рановато.

— Вот именно, — подтвердил я и, вырвав листок из блокнота, написал на нём ряд чисел. — Недавно мне пришло в голову, что продолжить числовой ряд легко с помощью серии вычитаний, до тех пор вычитая из последующих чисел предыдущие, пока разность их не окажется одинаковой…

— То есть как — одинаковой? — не понял Главный терятель.

— А вот так, — сказал я. — Вот вам ряд чисел: 9, 18, 31, 48, 69. Между прочим, числа ряда называются членами. Так вот, вычитая из второго члена первый, из третьего — второй, из четвёртого — третий, из пятого — четвёртый, получаем новый, второй ряд: 9, 13, 17, 21. Повторив ту же операцию со вторым рядом, получаем третий, состоящий из одних четвёрок.

Совершенно очевидно, что продолжить второй ряд можно, прибавив к последнему члену (21) число 4. При этом получим 25. И так же очевидно, что получить следующий член первого ряда (9, 18, 31, 48, 69) можно, прибавив 25 к числу 69.

— А дальше? — понукала девочка.