Стол находок утерянных чисел

— С величайшим удовольствием! — отвечал я. — Находить числа — моя святая обязанность. Правда, ваш случай не из лёгких. Но у меня есть один приём, и он нас выручит. Итак, мы ищем число с четвёркой на конце, и эта четвёрка, очутившись в начале числа, увеличит его вчетверо. Так узнаем сперва зто учетверённое число. Попробуем неизвестное нам число отправленных бананов умножить на 4. «Как?! — воскликнете вы. — Как же это возможно? Ведь оно неизвестное!» Да, отвечу я, но не совсем. У него есть кончик — четвёрка. Ухватимся за этот кончик и попробуем вытащить всё число. Для начала умножим четвёрку на 4, чтобы получить последнюю цифру учетверённого числа. 4x4=16. Вот вам и число единиц в новом числе: это 6. Причём в уме у нас остаётся единица, которая перейдёт в следующий разряд. А теперь… Теперь вступает в силу мой приём. Умножим последнюю цифру учетверённого числа 6 на 4, не забыв прибавить к произведению единицу. Получим 25: 6x4=24; 24+1=25. Вот у нас появилась и вторая цифра с конца — 5, при этом 2 остаётся в уме. Снова умножаем 5 на 4 и прибавляем к произведению двойку. Получаем 22: 5x4=20; 20+2=22. Вот вам и третья цифра с конца — 2, а два придерживаем в уме. Снова умножаем 2 на 4, прибавляем двойку и получаем 10. Теперь у нас уже есть четвёртая цифра с конца — 0, да единица в уме. Умножаем 0 на 4, затем прибавляем к произведению единицу и получаем 1: 0x4=0; 0+1=1. Это уже пятая цифра с конца. И наконец, умножив 1 на 4, получаем шестую с конца цифру — 4. Так, шаг за шагом, мы вытащили из неизвестности учетверённое число бананов 410256. Остаётся разделить его на четыре, чтобы найти искомое. Но делать это незачем. Ведь по условию, вернув четвёрку в конец числа, мы его сделаем вчетверо меньше. И, значит, число это — 102564. На всякий случай проверим: умножим 102564 на 4 и получим… 410256. Ошибки нет. Число найдено. И довольно-таки солидное число. Похоже, обезьяны ваши с голода не умрут…

Дрессировщик был вне себя от радости. Он превозносил и меня, и мой способ, и щедрость своего поставщика, который собирается заплатить такой дорогой ценой за решение задачи.

Но я сказал, что поставщик его оказался не только щедрым, но и милосердным. Ведь если бы в условии задачи не было сказано, что надо найти наименьшее из возможных чисел, так пришлось бы нам вычислять число посланных бананов до бесконечности. Потому что 102564 — это период бесконечного целого периодического числа. И, продолжив наше умножение тем же способом, мы снова и снова получим те же цифры, то же число. Нарастая справа налево, оно будет бесконечно повторяться и всегда при этом удовлетворять условию задачи. Потому что, каким бы длинным оно ни было, из скольких бы периодов не состояло, четвёрка, переставленная с конца в начало, непременно увеличит его вчетверо.

И тут меня перебила девочка.

— Какое совпадение! — ахнула она. — Какое удивительное совпадение! 102564 — это ведь то самое число, которое показывали в цирке воздушные гимнасты! Только там оно было периодом дроби, а здесь — целого числа…

Вот как! А я и не заметил… Впрочем, если это и совпадение, так чисто житейское, но никак не математическое. Почему? Да потому, что в том случае, когда последняя цифра числа, переставленная в начало, увеличивает его во столько же раз, число всегда будет одновременно периодом целого периодического числа и периодом дроби…

Девочку это слегка разочаровало, и я в виде утешения сказал, что таких чисел всего 9 — столько же, сколько цифр в нашей, десятичной системе счисления (нуль в данном случае не в счёт), и ничто ей не мешает вычислить тем же способом все остальные.

Но здесь произошло кое-что впрямь неожиданное. Одно из тех внезапных озарений, которые знакомы всем, кто занимается числами. И причиной его была девочка: ведь это она напомнила мне о цирке! Перед глазами у меня снова всплыли воздушные гимнасты и светящееся выражение «4:39 = 0, ». Потом оно преобразовалось, превратилось в дробь «⁴/₃₉=0, » и я внезапно понял, что знаменатель дроби 39 есть не что иное как удесятерённый числитель минус единица

Оставалось подставить в равенство после запятой известные мне цифры 102564 — и новый, к тому же наипростейший способ нахождения подобных чисел был, как говорится, у меня в кармане! Надо лишь последнюю цифру разделить на её удеся-терённъе значение минус единица. Если это 2 — так на 20—1, если 3 — на 30—1 и так далее…

Сообщение моё привело в восторг всех, особенно дрессировщика. Он снова рассыпался в похвалах, сказал, что не знает, как отблагодарить меня, хотел было преподнести мне обезьяну, да передумал — обезьяны слишком проказливы… И вдруг его тоже озарило!

— Знаете что, — сказал он, — не позаниматься ли мне с вашим щенком? Из него может выйти незаурядный циркач!

Он не успел договорить: Пуся взвизгнул, одним прыжком очутился на руках у дрессировщика и стал осыпать его влажными собачьими поцелуями.

— Вы угадали его заветное желание, — объяснила девочка, — но лишь наполовину. Он мечтает выступать вместе со мной.