"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Поглибити рівень засвоєння розділу ДР другого порядку і теми в цілому можна за рахунок застосування знаково-символьних засобів, які розрізняються своїми характеристиками, що дозволяє формувати уміння виділяти відношення форми і змісту об’єкта.

Розглянемо приклад розв’язування завдання типового розрахунку, із використанням різних методів розв’язування диференціального рівняння та різних комп’ютерних математичних систем. Нехай рівняння (1) має вигляд:

x''( t) +3 x'( t) +5 x( t)=4sin3 t, x(0)=0, x'(0)=0 (2)

Розв’язання задачі (2) спершу здійснюється методом невизначених коефіцієнтів у відповідній послідовності з використанням пакету DERIVE. Далі студентам дається завдання для самостійної роботи: Зробити перевірку одержаного результату, скориставшись, наприклад, програмою пакета Maple:

with(DEtools):

dsolve({diff(x(t),t$2)+3*diff(x(t),t)+5*x(t)=4*sin(3*t),x(0)=0,D(x)(0)=0},x(t));

Використовуються також інші методи. Метод варіації довільних сталих доцільно реалізувати за допомогою пакету DERIVE. Метод інтегрального перетворення Лапласа у такій послідовності (система Maple):

– перший етап

знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;

розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;

застосувати функцію оберненого перетворення Лапласа invlaplace.

– другий етап

знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;

розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;

застосувати лишки до знаходження оригіналу.

Доцільно ознайомити студентів із методом інтеграла Дюамеля, оскільки вони набули до цього уміння застосовувати перетворення Лапласа і цей етап реалізує закріплення матеріалу.

Оскільки результати спостережень за вхідним сигналом є наближеними, то у типовому розрахунку передбачається використання методу апроксимації, який реалізується у такій послідовності.

а) Метод найменших квадратів.

Відомі спостереження в точках f(0)=4sin(0) =0, f(1)=4sin(3)=0.5644798, f(2)=4sin(6)=–1.1176616, f(3)=4sin(9)=1.6484734, рівняння розв’язується за умови, що вхідним впливом є функція

f( t) =P₃( t) =a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³

– інтерполяційний многочлен третього степеня. Функцію P ₃( t) знаходимо за методом найменших квадратів.

б) Кусково-лінійна апроксимація.

Розв’яжемо рівняння (1), у випадку, коли вхідний сигнал задається кусково-лінійною функцією f( t) =x ₄( t):

в) Наближення інтерполяційними сплайнами.

Розв’яжемо рівняння (2), у випадку, коли вхідний сигнал задається сплайн-функцією f( t)= x ₃( t), тобто кубічним сплайном .

Завдання для самостійної роботи

Використати інші із розглянутих методів розв’язання диференціального рівняння з правою частиною (сплайн-функції).

Поява сучасних комп’ютерів та математичних комп’ютерних систем створили умови для використання у навчальному процесі більшої кількості наближених методів та ознайомлення студентів із сучасними наближеними аналітичними методами розв’язування ДР, зокрема, методом відомого українського математика Дзядика В.К. (1919-1998).

Метод дає можливість на заданому проміжку будувати многочлени, які з високою точністю наближають шуканий розв’язок, особливо у випадку, коли коефіцієнтами лінійного диференціального рівняння (ДР) є многочлени. Розглянемо застосування методу на прикладі деяких класів ДР.

Без використання математичних комп’ютерних систем типу Mathematicа завершити обчислення можна лише в найпростіших випадках. Використаємо пакет Mathematicа 4.0 при розв’язуванні задачі Коші [4]. Якщо розв’язується задача

y''+3 y'+5 y=–x³+2 x², y(0)=1, y'(0)=–1, (3)

наближений розв’язок рівняння шукаємо у вигляді многочлена, наприклад, четвертого степеня. Розв’язок має вигляд

Нижче наведено графіки відхилення та відносної похибки точного і наближеного розв’язків рівняння (3).

Наближений розв’язок рівняння Бесселя у вигляді степеневого ряду знаходиться за допомогою системи Mapleтак. Програма мовою системи має вигляд.

Order:=10:dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-1)*y(x)=0,y(x),series);

Наближення загального розв’язку система записує таким чином

Проте загальний розв’язок система повертає і у звичній формі:

dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-k^2)*y(x)=0,y(x));